前言

    在连续-时间控制系统中，PID控制器应用得非常广泛。其设计技术成熟，长期以来形成了典型的结构，参数整定方便，结构更改灵活，能满足一般的控制要求。

    数字PID控制比连续PID控制更为优越，因为计算机程序的灵活性，很容易克服连续PID控制中存在的问题，经修正而得到更完善的数字PID算法。

    本章将详细地讨论数字PID控制器的设计和调试问题。

  

控制器

    实际应用中，可以根据受控对象的特性和控制的性能要求，灵活地采用不同的控制组合，构成
比例（P）控制器

                                  (3-2)

比例十积分（PI）控制器

                           (3-3)

比例十积分十微分（PID）控制器

                    (3-4)

式中     K_P——比例放大系数；T_I——积分时间； T_D——微分时间。

　

控制作用

    比例控制能迅速反应误差，从而减小稳态误差。但是，比例控制不能消除稳态误差。比例放大系数的加大，会引起系统的不稳定。积分控制的作用是，只要系统有误差存在，积分控制器就不断地积累，输出控制量，以消除误差。因而，只要有足够的时间，积分控制将能完全消除误差，使系统误差为零，从而消除稳态误差。积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。微分控制可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高，同时加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。

    应用PID控制，必须适当地调整比例放大系数K_P，积分时间T_I和微分时间T_D，使整个控制系统得到良好的性能。

数字PID控制算法

 

PID控制器的实现　

    在电子数字计算机直接数字控制系统中，PID控制器是通过计算机PID控制算法程序实现的。计算机直接数字控制系统大多数是采样-数据控制系统。进入计算机的连续-时间信号,必须经过采样和整量化后，变成数字量，方能进入计算机的存贮器和寄存器，而在数字计算机中的计算和处理，不论是积分还是微分，只能用数值计算去逼近。

    在数字计算机中，PID控制规律的实现，也必须用数值逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分，用差商代替微商，使PID算法离散化，将描述连续-时间PID算法的微分方程，变为描述离散-时间PID算法的差分方程。

位置式PID控制算法

考虑式（3-4），用矩形积分时，有

   (3-5)

用差分代替微分

　                (3-6)

将式（3一5）、（3一6）代入式（3一4），PID算法变为

    (3-7)

或

式中 u ₀——控制量的基值，即k=0时的控制；

     u（k）——第k个采样时刻的控制； K_P——比例放大系数；    K_I——积分放大系数；

　

   

   K_D——微分放大系数；

　

  

   T_S——采样周期。

    式（3-7）是数字PID算法的非递推形式，称全量算法。算法中，为了求和，必须将系统偏差的全部过去值e（j）（j=1，2，3，... ，k）都存储起来。这种算法得出控制量的全量输出u（k），是控制量的绝对数值。在控制系统中，这种控制量确定了执行机构的位置，例如在阀门控制中，这种算法的输出对应了阀门的位置（开度）。所以，将这种算法称为“位置算法”。

增量式PID控制算法

    当执行机构需要的不是控制量的绝对值，而是控制量的增量（例如去驱动步进电动机）时，需要用PID的“增量算法”。

    由位置算法求出

再求出

　

两式相减，得出控制量的增量算法

式(3-8)称为增量式PID算法。

    对增量式PID算法（3-8）归并后，得

              (3-9)

其中

　

　

　

　

（3-9）已看不出是PID的表达式了，也看不出P、I、D作用的直接关系，只表示了各次误差量对控制作用的影响。从式（3-9）看出，数字增量式PID算法，只要贮存最近的三个误差采样值e（k）、e（k-1）、e（k-2）就足够了。

    图

　饱和特性与改进算法

    实际的控制系统中，存在着饱和特性。当控制变量达到一定值后，系统的输出变量不再增长，系统进入饱和区。这就要求系统的控制变量必须限制在某个范围之内，即

有时候，对控制量的变化率也有限制

                     

若计算得之控制量超出了上述范围，系统实际执行的不是控制量的计算值，而是控制量的最值（或 ），控制达不到预期的效果，甚至引起振荡。这种现象在开工、停工或大幅度改变给定值的情况下尤其容易发生，此时需要改进算法。

PID算法的饱和及其抑制

　

位置算法的积分

    PID位置算法中，“饱和”主要由积分项引起，称为“积分饱和”。要克服“积分饱和”，关键是限制积分作用，使积分积累不能过大。下面介绍常用的方法。

1.积分分离法

    积分分离法是在误差量较大时，不进行积分，直至误差达到一定值之后，才在控制量的计算中加入积分累积。算法为

                 （3-15）

其中                        为门限值，见图3-5 所示。

   

用积分分离的改进算法效果较好， 程序简单，程序框图如图3-6所示。

　

　

2.遇限消弱积分法

    基本思想是，当控制进入饱和区以后，便不再进行积分项的累加，而只执行削弱积分的运算。这种算法可以避免控制量长时间停留在饱和区。

3.有效偏差法

    这种方法是将实际执行的控制量对应的误差值作为有效误差值，进行积分累加，而不用实际的误差值进行积分累加。

　

增量算法的比例与微分

    数字PID增量算法中没有累加和项，不会出现积分饱和，避免了大的超调和震荡。但在增量算法中，可能出现比例和微分饱和现象。为了抑制微分饱和，加速系统的动态过程，可采用积累补偿法。

    积累补偿法的基本思想是，将那些因饱和而未能执行的控制增量信息累积起来，一旦有可能时再补充执行。

PID参数整定方法

确定控制器结构

    数字PID控制器控制参数的选择，可按连续-时间PID参数整定方法进行。
    在选择数字PID参数之前，首先应该确定控制器结构。对允许有静差（或稳态误差）的系统，可以适当选择P或PD控制器，使稳态误差在允许的范围内。对必须消除稳态误差的系统，应选择包含积分控制的PI或PID控制器。一般来说，PI、PID和P控制器应用较多。对于有滞后的对象,往往都加入微分控制。

　

选择参数

    控制器结构确定后，即可开始选择参数。参数的选择，要根据受控对象的具体特性和对控制系统的性能要求进行。工程上，一般要求整个闭环系统是稳定的，对给定量的变化能迅速响应并平滑跟踪，超调量小；在不同干扰作用下，能保证被控量在给定值；当环境参数发生变化时，整个系统能保持稳定，等等。这些要求，对控制系统自身性能来说，有些是矛盾的。我们必须满足主要的方面的要求，兼顾其他方面，适当地折衷处理。

    PID控制器的参数整定，可以不依赖于受控对象的数学模型。工程上，PID控制器的参数常常是通过实验来确定，通过试凑，或者通过实验经验公式来确定。

采样周期的选定　

采样周期

     采样一数据控制系统中，设采样周期为T_S，采样速率为1/T_S，采样角频率为

                                                            

采样周期T_S是设计者要精心选择的重要参数，系统的性能与采样周期的选择有密切关系。

　

考虑因素

    采样周期的选择受多方面因素的影响,主要考虑的因素分析如下。

（1）香农（Shannon）采样定理

                             （Wmax--被采样信号的上限角频率）   

给出了采样周期的上限。满足这一定理，采样信号方可恢复或近似地恢复为原模拟信号，而不丢失主要信息。在这个限制范围内，采样周期越小，采样-数据控制系统的性能越接近于连续-时间控制系统。

（2）闭环系统对给定信号的跟踪，要求采样周期要小。

（3）从抑制扰动的要求来说，采样周期应该选择得小些。

（4）从执行元件的要求来看，有时要求输入控制信号要保持一定的宽度。

（5）从计算机精度考虑，采样周期不宜过短。

（6）从系统成本上考虑，希望采样周期越长越好。

     综合上述各因素，选择采样周期，应在满足控制系统的性能要求的条件下， 尽可能地选择低的采样速率。

　

经验选择

    工业控制中，大量的受控对象都具有低通的性质。下面图3-12给出了选择采样周期的经验。

  

表3-1给出了常用被控量的经验采样周期。                

试凑方法

    采样周期的选择，要根据所设计的系统的具体情况，用试凑的方法，在试凑过程中根据各种合理的建议来预选采样周期，多次试凑，选择性能较好的一个作为最后的采样周期。

3-3表示了增量式PID控制算法的流程图。

实验试凑法   

    实验凑试法是通过闭环运行或模拟，观察系统的响应曲线，然后根据各参数对系统的影响，反复凑试参数，直至出现满意的响应，从而确定PID控制参数。    

整定步骤　

    实验凑试法的整定步骤为"先比例，再积分，最后微分"。

（1）整定比例控制

    将比例控制作用由小变到大，观察各次响应，直至得到反应快、超调小的响应曲线。

（2）整定积分环节

    若在比例控制下稳态误差不能满足要求，需加入积分控制。

    先将步骤（1）中选择的比例系数减小为原来的50～80％，再将积分时间置一个较大值，观测响应曲线。然后减小积分时间，加大积分作用，并相应调整比例系数，反复试凑至得到较满意的响应，确定比例和积分的参数。

（3）整定微分环节

    若经过步骤（2），PI控制只能消除稳态误差，而动态过程不能令人满意，则应加入微分控制，构成PID控制。

    先置微分时间T_D=0，逐渐加大T_D，同时相应地改变比例系数和积分时间，反复试凑至获得满意的控制效果和PID控制参数。

    以下是PID控制系统的仿真程序，试调整控制器增益(Kpt)和积分分离值(ei)这两个参数，看一下它们对系统输出响应的影响。

 

评价标准　

    PID参数对控制质量的影响不十分敏感。因而不同的比例、积分、微分的组合，可能达到相近的控制效果。实际应用中，只要受控过程或受控对象的主要指标达到设计要求，相应的控制器参数即可作为有效的控制参数。

实验经验法

扩充临界比例度法

    实验经验法调整PID参数的方法中较常用的是扩充临界比例度法,其最大的优点是，参数的整定不依赖受控对象的数学模型，直接在现场整定、简单易行。

    扩充比例度法适用于有自平衡特性的受控对象，是对连续-时间PID控制器参数整定的临界比例度法的扩充。

整定步骤　

    扩充比例度法整定数字PID控制器参数的步骤是：

（1）预选择一个足够短的采样周期TS。一般说TS应小于受控对象纯延迟时间的十分之一。

（2）用选定的TS使系统工作。这时去掉积分作用和微分作用，将控制选择为纯比例控制器，构成闭环运行。逐渐减小比例度，即加大比例放大系数KP，直至系统对输入的阶跃信号的响应出现临界振荡（稳定边缘），将这时的比例放大系数记为Kr,临界振荡周期记为Tr。

（3）选择。控制度

    控制度，就是以连续-时间PID控制器为基准，将数字PID控制效果与之相比较。

通常采用误差平方积分

　

　

作为控制效果的评价函数。

    定义控制度

                    （3-25）

　

    采样周期T_S的长短会影响采样-数据控制系统 的品质，同样是最佳整定，采样-数据控制系统的控制品质要低于连续-时间控制系统。因而，控制度总是大于1的，而且控制度越大，相应的采样-数据控制系统的品质越差。控制度的选择要从所设计的系统的控制品质要求出发。

（4） 查表确定参数。根据所选择的控制度，查表3一2，得出数字PID中相应的参数T_S,K_P,T_I和T_D。

（5）运行与修正。将求得的各参数值加入PID控制器,闭环运行,观察控制效果,并作适当的调整以获得比较满意的效果。

　PID控制系统

单路PID控制系统

   

    这就是我们前面涉及的系统，系统中只有一个PID控制器，如图3-13所表示。

串级控制系统

     计算机串级控制系统的典型结构如下图3-14所示。

    系统中有两个PID控制器，其中一个控制器的输出，作为另一个控制器的给定。图中，控制器PID₂称副控制器，内环称副回路；PID₁称主控制器，包围PID₂的外环称主回路。主控器的输出控制作为副回路的给定量。串级控制系统的计算顺序是先主回路（PID₁）后副回路（PID₂）。控制方式有两种：异步采样控制和同步采样控制。